2022/02/26 マルゼミ「String Diagram を学ぶ — カテゴリー論入門 (1)」概要

2月のマルゼミでは、String Diagramについて学びます。具体的には、Bob Coeckeの “Picturing Quantum Processes”に依拠して、量子過程を図解する手法としてのString Diagramを学びます。
このセミナーは、今後、継続的に開催される「カテゴリー論入門」シリーズの第一回目として開催されます。詳しくは、「「カテゴリー論入門」セミナーについて」を参照ください。

セミナー概要 「はじめに」から

String Diagram とは何か？

String Diagramは、直観では理解しにくい（むしろ直観に反した）量子過程の諸特徴を、数式を使わずに 「図式 Diagram」を使って、直観的に理解することを可能にする新しい方法です。それは、図式を使うことにはとどまらない、従来のアプローチにはない優れた特徴を持っています。

「状態」と「過程」

フォン・ノイマンによって定式化された従来のアプローチでは、量子の「状態」をヒルベルト空間上のベクトルとして捉えます。また「観測可能量」は、ヒルベルト空間上のエルミート演算子に対応し、実際に観測される「状態」の確率は、ボルンのルールで与えられます。それに対して、String Diagramでは、全てのものが「過程 process」として統一的に捉えられます。

「重ね合わせ」と「エンタングルメント」

従来の定式化は、量子論の主要な特徴を「状態」の「重ね合わせ」と「観測」の「確率解釈」として捉えます。ただ、それは、「エンタングルメント」のような量子過程に、直接フォーカスしているわけではありません。String Diagramは、エンタングルメントのような「不可分離性 non-separability」を量子論の特徴として捉えようとします。

「量子過程」と「情報過程」

従来のアプローチでは、量子過程の情報的側面には、ほとんど関心が向けられていませんでした。String Diagramでは、量子テレポーテーション、エンタングルメント・スワップメント等の量子過程の情報的側面に大きな関心が寄せられています。

「数式」と「図式」

「数式」の方が「図式」より、正確で情報量が多いというのは、ある種の思い込みです。
String Diagramの「図式」は、「数式」で表現される抽象的なカテゴリ〜論と同値です。oString Diagramの「図式」は、直観的で分かりやすいだけでなく、それを理解するのに、カテゴリー論を学ぶ必要もありません。

より詳しくは …

次のショートムービー「String diagram とは何か」をご覧ください。
(このショートムービーのスライドpdfは、このリンクからアクセスできます。)

「String Diagram を学ぶ」講演ビデオ

第1部 「String Diagramの基本」

第2部 「量子回路をDiagramで表す」

第3部 「プロセスの理論」

第4部 「String Diagramの世界」

「String Diagramを学ぶ」 解説 blog

String Diagramの基本

• String Diagramの基本はやさしいものです
• 同じ「図形」と同じ「プロセス」
• 単純なものから複雑なものを構成する

量子回路をDiagramで表す

• 回路を図形としてとらえる
• 量子回路を構成する量子ゲート
• 量子ゲートの行列表現
• 量子回路のDiagram

プロセスとしての関数と関係

• デカルトの積？
• デカルト積 再び
• 関数は関係の特殊な場合である　

特別なプロセス

• フォン・ノイマンが考えたこと
• 「状態」をプロセスとして表現する
• 天才 ディラック

String Diagramの世界

• String Diagram の新世界
• cupとcap
• yanking等式について
• Transpose とcup, cap

「String Diagramを学ぶ」 ショートムービー

この資料の前半は、以前に(2019年9月)に公開したショートムービーと、基本的に同じものです。一番大きな違いは、前回のムービーが「無声映画」だったのに対して「トーキー」化されていることです。また、後半から、新しいコンテンツが追加され、セミナーとしてまとめられます。

Diagramの基本

Diagram = Box + Wire

（スライド blog: 「String Diagramの基本はやさしいものです」）

Diagramの「等式」

(スライド blog: 「同じ「図形」と同じ「プロセス」」)

Diagramの「合成」

(スライド blog:「単純なものから複雑なものを構成する」 )

量子回路をDiagramで表す

Diagramと回路

(slide blog: 「回路を図形としてとらえる」 )

量子ゲート

(slide blog: 「量子回路を構成する量子ゲート」 )

量子ゲートの行列表現

(slide blog:「量子ゲートの行列表現」 )

量子回路のDiagram

(slide blog:「量子回路のDiagram」 )

プロセスとしての関数と関係

基本的な型としての「集合」

( slide blog: 「デカルトの積？」 )

プロセスとしての「関数」

( slide blog:「デカルト積 再び」 )

プロセスとしての「関係」

( slide blog:「関数は関係の特殊な場合である」　)

特別なプロセス

プロセス中心のアプローチ

( slide blog: 「フォン・ノイマンが考えたこと」 )

「状態」、「効果」、「数」

‘ slide blog:「「状態」をプロセスとして表現する」 )

ket記法との対応

( slide blog: 「天才 ディラック」 )

String Diagramの世界

分離可能性

( slide blog: 「String Diagram の新世界」 )

プロセスと状態の双対性

( slide blog: 「cupとcap」)

Yanking等式

( slide blog: 「yanking等式について」)

Transpose

( slide blog:「Transpose とcup, cap」)

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2018/05/29 MaruLabo数理ナイト「集合論入門」概要

集合論は、19世紀後半に、ドイツの数学者ゲオルグ・カントールが創り出した数学の一分野です。それまでの数学が、微分や積分や無限級数や幾何学的図形や物理的な運動を対象にしていたのに対して、集合論が対象とするのは、より抽象的な「集合」そのものです。その意味では、集合論の登場は、現代数学の一つの特徴である「抽象化」の歴史的な第一歩といっていいと思います。

ただ、集合論の基本的考え方は、決して抽象的なものではありません。それは、極めて具体的な、「集める」「数える」といった操作を基礎にしています。集合とは、いろいろなものを集めてできたものに、一つのまとまりを与えることです。逆に、いろんなもの（これを「要素」といいます）は、この集合に「属する」と考えます。

集合について大事な特徴の一つは、我々は、集合の要素の数を数えることができると言うことです。こうした考えは自然なもので、小学生に初めて足し算を教えるときには、この集合のモデルを使っています。「赤い石が三つのかたまりと、青い石が五つのかたまりを、一緒にすると、石はいくつ？ 数えてみましょう。」

問題は、こうした素朴な考えを進めていくと、あるところで、急に難しくなるということです。集合論の創始者のカントールが考えた一番難しい問題の一つは、次のようなものでした。答えられますか？
「線は、点を集めたもの。それでは、この線分の上に、点は何個あるのか数えてみよう。」
もちろん、線の上には、無限個の点が存在します。ただ、カントールは、驚くべきことを発見します。私たちに一番身近な無限の例は、1, 2, 3, 4, …. と無限続く自然数です。自然数は、無限個存在します。カントールは、線のように連続なもの（実数で表されます）の上の点の数は、自然数のなす無限より大きいことに気づきます。

無限は一つではないのです。実数の個数は、やはり無限なのですが、その無限は、自然数の個数の無限より大きいのです。

こうして、集合論は、主要に、無限と連続というものを数学的に考える数学として出発します。ただ、その前途は、平坦なものではありませんでした。

講演資料の構成

「数える」を考える

カントールの考えたこと 1 — 無限に数え続ける方法　

カントールが考えたこと 2 — 無限集合の要素の個数

カントールが証明できなかったこと – 連続体仮説

集合論の体系の整備

ラッセルが見つけた集合論の矛盾

ZF: ツェルメロ=フランケルの公理的集合論

非カントール的集合論の発見

ゲーデル　1940年連続体仮説と集合論の無矛盾性の証明

コーエン　1963年連続体仮説と集合論の独立性の証明

数学の基礎を基礎付ける試みの発展 

「集合論入門」講演資料　（ダウンロード）

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テーマ：「ディープラーニング：クラウド＋エッジ ハンズオン」

概要：https://goo.gl/AA242u

資料：

• 「AWS上での機械学習システムの構築とSageMaker」by 松尾 康博 https://goo.gl/kyjmwu
• “TensorFlow.js+Amazon SageMaker” by Hideya Kawahara https://goo.gl/y9DMji
• 「データとモデル」 by 丸山不二夫 https://goo.gl/yATZq6
• 「簡単に人工知能アプリを作る為のAmazon SageMakerクラウド・ハンズオン」by 古川新 https://goo.gl/ZQu63M
• 「AWS SageMakerを初めて使うガイド」 by 松尾 康博 https://goo.gl/jXG7GG
• Doodle image recognition with TensorFlow https://github.com/maru-labo/doodle/
• TensorFlow.js example ImageNet recognition using pre-trained MobileNet and WebCam https://github.com/maru-labo/tfjs-mobilenet-webcam

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2018/04/25　MaruLabo数理ナイト「数理哲学への招待」概要

ディープラーニングや量子コンピュータなど、新しいIT技術をすこし詳しく知ろうとすると、いろんな数学的知識が要求されることがあります。そこで立ち止まってしまう人も多いのではと思っています。それは、残念なことですが、ただ、そのことに、もっぱら小言を言いたいわけではありません。というのも、数学の世界は、プログラミング＝アルゴリズムの世界に隣接して、そのちょっと先にひろがっているからです。

社会が複雑になり、我々の社会的活動が多様になり、また、我々の認識の対象が量子の世界から宇宙まで拡大するにつれ、我々と数学との接点は、ますます広がっていきます。現代の社会的活動の大きな部分をIT技術が占めていますので、ITと数学との接点が広がり深まるのは、ある意味、不可避のことです。

今度のセミナーの目標は、数学が面白いことを感じてもらうというものにしようと思っています。

数学を無味乾燥なつまらない学問だと思っている人は、少なくないと思います。大学受験の世界では、数学は、決して人気の科目ではありません。また、「数学なんて、生きていくのに役に立つの？」と「根本的」な疑問を持っている少年・少女達もたくさんいるでしょう。

ただ、第一に、数学の歴史に注目すれば、そこには、面白いドラマがたくさんあります。それは、それまでの通念がひっくりかえる意想天外のどんでん返しの連続です。登場人物たちも、なかなか魅力的です。

第二に、数学は、もちろん、最終的には数学的形式をまとうのですが、それは完成形です。数学の研究をドライブしているのは、「謎」を見つけて、それを解決したいと思う知的好奇心です。その問題意識自体は、数学の形式にによらなくても定式化できて、そのいくつかは、誰でも、理解すること、考えることは可能なのものがあります。それは、いわば、「哲学」的な問題です。知的好奇心は、数学はどういう学問なのかという数学の基礎自体にも向かいます。面白いのは、こうした分野では特に、数学的関心と哲学的関心は、結びつきます。

第三に、おそらく、物理学の基礎の部分でも、同じこと、哲学的問題意識が学問にとっては有用だという現象がが起きていると思います。「数学が役に立つのか？」という、先の疑問に対する、もっとも有力な回答は、数学が、実在の物質界についての学問である物理の世界で、役に立っていることだと僕は考えています。これも、考えると、本当は不思議なことです。

セミナーの冒頭、参加者に簡単な「思考実験」をしてもらおうと思います。それには、特別な数学的知識は、必要ありません。

講演資料 「数理哲学への招待」

数理哲学への招待 — 思考実験編

数理哲学への招待 — 数学史編

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テーマ：「Amazon SageMakerクラウド・ハンズオン」

概要：https://lab-kadokawa45.peatix.com/
資料：https://goo.gl/YPsCcM

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テーマ：「紙と鉛筆で学ぶ量子情報理論基礎演習 」Round 2

概要：https://peatix.com/event/334779/ , https://peatix.com/event/335201/
資料：https://goo.gl/1UqhU9
解答編＋「ketのレシピ」：https://goo.gl/Uib1PV
動画：https://crash.academy/class/207

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