String Diagram を学ぶ -- カテゴリー論入門 (1)

2022/02/26 マルゼミ「String Diagram を学ぶ -- カテゴリー論入門 (1)」

2月のマルゼミでは、String Diagramについて学びます。具体的には、Bob Coeckeの “Picturing Quantum Processes”に依拠して、量子過程を図解する手法としてのString Diagramを学びます。
このセミナーは、今後、継続的に開催される「カテゴリー論入門」シリーズの第一回目として開催されます。詳しくは、「「カテゴリー論入門」セミナーについて」を参照ください。

セミナーへのお申し込み、受付中です。

セミナーへのお申し込みは、次のページからお願いします。
https://string-diagram.peatix.com/view

「String Diagram を学ぶ」講演資料

( ダウンロード pdf pptx )

「はじめに」から

String Diagram とは何か?

String Diagramは、直観では理解しにくい(むしろ直観に反した)量子過程の諸特徴を、数式を使わずに 「図式 Diagram」を使って、直観的に理解することを可能にする新しい方法です。それは、図式を使うことにはとどまらない、従来のアプローチにはない優れた特徴を持っています。

「状態」と「過程」

フォン・ノイマンによって定式化された従来のアプローチでは、量子の「状態」をヒルベルト空間上のベクトルとして捉えます。また「観測可能量」は、ヒルベルト空間上のエルミート演算子に対応し、実際に観測される「状態」の確率は、ボルンのルールで与えられます。それに対して、String Diagramでは、全てのものが「過程 process」として統一的に捉えられます。

「重ね合わせ」と「エンタングルメント」

従来の定式化は、量子論の主要な特徴を「状態」の「重ね合わせ」と「観測」の「確率解釈」として捉えます。ただ、それは、「エンタングルメント」のような量子過程に、直接フォーカスしているわけではありません。String Diagramは、エンタングルメントのような「不可分離性 non-separability」を量子論の特徴として捉えようとします。

「量子過程」と「情報過程」

従来のアプローチでは、量子過程の情報的側面には、ほとんど関心が向けられていませんでした。String Diagramでは、量子テレポーテーション、エンタングルメント・スワップメント等の量子過程の情報的側面に大きな関心が寄せられています。

「数式」と「図式」

「数式」の方が「図式」より、正確で情報量が多いというのは、ある種の思い込みです。
String Diagramの「図式」は、「数式」で表現される抽象的なカテゴリ〜論と同値です。oString Diagramの「図式」は、直観的で分かりやすいだけでなく、それを理解するのに、カテゴリー論を学ぶ必要もありません。

より詳しくは ...

次のショートムービー「String diagram とは何か」をご覧ください。
(このショートムービーのスライドpdfは、このリンクからアクセスできます。)

2/26マルゼミ 解説 blog

String Diagramの基本

量子回路をDiagramで表す

プロセスとしての関数と関係

特別なプロセス

String Diagramの世界

2/26マルゼミ ショートムービー

この資料の前半は、以前に(2019年9月)に公開したショートムービーと、基本的に同じものです。一番大きな違いは、前回のムービーが「無声映画」だったのに対して「トーキー」化されていることです。また、後半から、新しいコンテンツが追加され、セミナーとしてまとめられます。

Diagramの基本

Diagram = Box + Wire

スライド blog: 「String Diagramの基本はやさしいものです」)

Diagramの「等式」

(スライド blog: 「同じ「図形」と同じ「プロセス」」)

Diagramの「合成」

(スライド blog:「単純なものから複雑なものを構成する」 )

量子回路をDiagramで表す

Diagramと回路

(slide blog: 「回路を図形としてとらえる」 )

量子ゲート

(slide blog: 「量子回路を構成する量子ゲート」 )

量子ゲートの行列表現

(slide blog:「量子ゲートの行列表現」 )

量子回路のDiagram

(slide blog:「量子回路のDiagram」 )

プロセスとしての関数と関係

基本的な型としての「集合」

( slide blog: 「デカルトの積?」 )

プロセスとしての「関数」

( slide blog:「デカルト積 再び」 )

プロセスとしての「関係」

( slide blog:「関数は関係の特殊な場合である」 )

特別なプロセス

プロセス中心のアプローチ

( slide blog: 「フォン・ノイマンが考えたこと」 )

「状態」、「効果」、「数」

' slide blog:「「状態」をプロセスとして表現する」 )

ket記法との対応

( slide blog: 「天才 ディラック」 )

String Diagramの世界

分離可能性

( slide blog: 「String Diagram の新世界」 )

プロセスと状態の双対性

( slide blog: 「cupとcap」)

Yanking等式

( slide blog: 「yanking等式について」)

Transpose

( slide blog:「Transpose とcup, cap」)