カテゴリー論基礎

カテゴリー論を学ぼう！

科学・技術の急速な変化の中で、それらの基礎としての数学に関心を持つ人が、確実に増えていると僕は感じています。ただ、新しく、あるいは新しい数学の勉強を始めようしようという人にとって、数学を学ぶことの難しさも増しているように思います。

数学の応用のスタイルは大きく変化しています。例えば、大規模言語モデルの振る舞いの理解に、copresheafや enriched category を使うなどは、以前には考えられなかったことです。

ただ、これまでの丸山のセミナーでは、copresheafやYoneda embeddingの話をしながら、カテゴリー論の基礎については系統的に話すことはなく、カテゴリー論の重要なlimitやadjointの概念についてはほとんど触れることができませんでした。

マルレクでは、これまでいくつかの数学的話題を取り上げてきているのですが、説明不十分の「負債」を抱えたままだと、前に進むのが、だんだん難しくなってきます。

基本的な反省は、個々のトピックスでの数学の「応用」の範囲でカテゴリー論に触れているだけで、これから数学を学ぶなら、まずカテゴリー論を学ぶべきというメッセージを明確に出していなかったことだと考えています。

今後マルレクでは、カテゴリー論の基礎をきちんと学ぶことを目標の一つににして、「カテゴリー論基礎」のセミナーを継続的に開催しようと思っていいます。今回のセミナーは、そうした取り組みの第一回目です。

英語圏では、Tai-Danae Bradleyが、カテゴリー論のすぐれた啓蒙活動を精力的におこなっています。また、Tom Leinsterのケンブリッジ大の新しいカテゴリー論の教科書は、斬新なものです。残念なことに、こうした活動は日本ではあまり知られていないように思います。彼らの取り組みを、まず、紹介していきたいと思っています。

今回のセミナーで主要に依拠したのは、次の二つのコンテンツです。

• Tai-Danae Bradley, Category Theory, https://www.math3ma.com/categories/category-theory
• Tom Leinster, Basic Category Theory, https://arxiv.org/pdf/1612.09375

重要なことは、数学の「応用」だけでなく、数学そのものも、今、大きく変わろうとしていいるということです。カテゴリー論の「基礎」とそこで使われている「言葉」をまず知ることが、進行中の数学の変化の「意味」を知る上で、必要な第一歩だと考えています。

セミナーの申し込み受付開始しました

次のサイトから、受け付けています。
https://category-theory.peatix.com/

Part 1-1 Category

Categoryとは何か？

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Categoryの例

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Part 1-2 Functor

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Part 1-3 Natural Transformation

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Part 2-1　Limit

Limit と Colimit とは何か？

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Product

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Pullback

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Part 2-2 その他のLimit

Equalizer

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Inverse Limit

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Terminal Object

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今後、「カテゴリー論基礎 2, 3, ... 」の開講を予定しています

Presheaf と Copresheaf (Representable)

Adjoint

Enriched Category