密度行列 ρ で理解する量子の世界

目次

「2021/08/05 マルゼミ「密度行列 ρ で理解する量子の世界」概要

量子の世界を記述するには、ベクトルを使うやり方と密度行列を使うやり方があります。二つのアプローチは、量子の世界を記述しようという点では、基本的には同じ能力を持ちます。

ベクトルを使うアプローチは、基本的には、一つの量子の状態に注目します。一方、密度行列を使うアプローチでは、複数の量子の状態のあつまり(アンサンブル)を対象にします。

現実の量子の世界は、複数の量子の状態が入り混じった状態にあります。その中では、二つの量子が絡み合った状態にあったり(エンタングルメント)、対象の系自身が、外部の環境の影響を受けます(ノイズ、デコヒーレント)。こうした現象に対しては、密度行列によるアプローチが力を発揮します。

量子の世界のエントロピーは、密度行列で定義されます。密度行列は、量子情報理論の基本的なツールです。量子の世界の理解を一歩進める上で、密度行列の理解は不可欠です。

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「密度行列 ρ で理解する量子の世界」講演ビデオ

Part 1 「密度行列とTrace」

YouTube チャプター

 00:00  はじめに

 06:19  密度行列とは何か?

 12:55  mixedな密度行列
 16:57  mixedな密度行列の特殊な形としてのpureな密度行列

 21:21 Traceと密度行列

 28:41  pureな密度行列のTrace
 32:36  mixedな密度行列のTrace
 35:46  密度行列の二乗のTrace

 36:25  pureとmixedの密度行列の違い

Part 2 「密度行列と観測」

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 00:00  密度行列と観測
 01:29  観測演算子の一般化

 01:36  観測の期待値
 07:25  観測値の期待値 密度行列版

 09:28  観測演算子の一般化 POVM

 09:36  射影演算子 𝑃_𝑖
 16:01  観測演算子 M_m

 17:46  POVM(Positive Operator Valued Measurement)
 19:24  観測の確率を密度行列で表現する

 19:30  traceと内積
 25:42  密度行列と観測確率

 28:39  観測の結果を観測演算子で表現する

 29:27  観測後の状態を射影演算子で考える
 35:46  観測の結果の状態を、密度行列と観測演算子で表現する

 39:57  密度行列の和として密度行列を表現する

Part 3 「Partial Trace」

YouTube チャプター

 00:00  Partial Trace

 00:50  還元された密度行列とpartial trace
 05:55  partial trace over B= Trace out B

 07:55  エンタングルメントとpartial trace
 08:02  分離可能な状態のpartial trace
 10:21  エンタングルしたEPRペアのpartial trace

Part 4 「密度行列で量子論の原理を定式化する」

YouTube チャプター

 00:00  密度行列で量子論の原理を定式化する
 02:45  状態ベクトルを使った量子論の原理の定式化
 07:17  密度行列を使った量子論の原理の定式化
 11:25  Complete Positiveという抽象化
 13:43  ユニタリ変換と観測による密度行列の変化

YouTubeで学ぶ量子論の基礎

Lesson 0「量子の状態をベクトルで表現する — 量子論の三つの原理」

重ね合わせの原理 (pdf)


ユニタリ変換の原理 (pdf)

観測の原理 (pdf)

Lesson 1「内積と正規直交基底」

(slide video)

Lesson 2 線形演算子と行列

(slide video)

Lesson 3  観測と射影演算子

(slide video)

Lesson 4  エルミート演算子とユニタリ演算子

(slide video)

Lesson 5  スペクトル分解定理 

(slide video)

Lesson 6 観測演算子の一般化 POVM

(slide video)